Центростремительное ускорение

Нам известно, что всякое криволинейное движение происходит под действием силы, направленной под углом к скорости. В случае равномерного движения по окружности этот угол будет прямым. В самом деле, если, например, вращать шарик, привязанный к верёвке, то направление скорости шарика в любой момент времени перпендикулярно верёвке.

Сила же натяжения верёвки, удерживающая шарик на окружности, направлена вдоль верёвки к центру вращения.

По второму закону Ньютона эта сила будет вызывать ускорение тела в том же направлении. Ускорение, направленное по радиусу к центру вращения, называется центростремительным ускорением.

Выведем формулу для определения величины центростремительного ускорения.

Прежде всего, заметим, что движение по окружности – сложное движение. Под действием центростремительной силы тело движется к центру вращения и одновременно по инерции удаляется от этого центра по касательной к окружности.

Пусть за время t тело, двигаясь равномерно со скоростью v, переместилось из D в Е. Допустим, что в тот момент, когда тело находилось в точке D, на него перестала бы действовать центростремительная сила. Тогда за время t оно переместилось бы в точку К, лежащую на касательной DL. Если же в начальный момент тело оказалось бы под действием только одной центростремительной силы (не двигалось по инерции), то оно за время t, двигаясь равноускоренно, переместилось бы в точку F, лежащую на прямой DC. В результате сложения этих двух движений за время t получается результирующее движение по дуге DE.

Возьмём промежуток времени t столь малым, чтобы дуга DE мало отличалась от хорды DE, т. е. заменим движение по дуге движением по хорде. В этом случае путь тела по хорде DE будет равен vt, т.е. DE = vt.

Обозначим через а искомое центростремительное ускорение. Тогда путь DF, который тело проходит за время t под действием только одной центростремительной силы, выразится известной формулой пути равноускоренного движения:

DF = at2/2

Теперь воспользуемся известной геометрической теоремой, на основании которой

(DE)2 = DC · DF

Поскольку DE = vt, DF = at2/2 , DC = 2R, то из равенства, после простых преобразований получается формула центростремительного ускорения:

a = v2/R

Величина центростремительного ускорения точки равна частному от деления квадрата линейной скорости на радиус окружности.

Центростремительное ускорение можно выразить также через угловую скорость и радиус окружности.

Мы знаем, что v = ωR, где ω – угловая скорость. Если поставить это значение скорости в формулу, то получим:

a = ω2R

НАУЧНЫЕ РАЗДЕЛЫ